CORRECTION épreuve de mathématiques

Salut, www.devenez-fonctionnaire.fr/media/kunena/emoticons/c-salut.gif

c'est le moment de poster vos corrections de l'épreuve de maths !

à chaud c'est mieux! allons-y!

en pièce jointe, le sujet de maths 2014 de cette après midi !

Bonjour,

Alors je commence, de mémoire et sans trop détailler

Exercice 1 :

Q1 : a1 = 1/2 (on choisit au hasard une pièce pour le premier lancer)
a2 = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/4 = 3/8

Q2 : On fait un arbre, on a alors

an+1 = p(An) * 1/2 + (1-p(An)) * 1/4 = an * 1/2 + 1/4 - an * 1/4 = 1/4 * (an + 1)

Q3 : a) Pour tout n non nul, un+1 = an+1 - 1/3 = 1/4 * (an + 1) - 1/3 = 1/4 * an - 1/12 = 1/4 * (an - 1/3) = 1/4 * un

Donc un géométrique de raison 1/4 et de premier terme u1 = 1/6 (évident)
b) Pour tout n non nul un = 1/6 * (1/4)^(n-1) donc an = 1/6 * (1/4)^(n-1) + 1/3

Q4 : an tend vers 1/3, donc sur un grand nombre de lancer, la fréquence de sélection de la pièce A sera proche de 1/3

La suite un peu plus tard

ouf j ai à peu prêt trouve cela pour lexo 1 mais sans trop expliqué pas le temps d ailleurs tout est un peu l avenant. sur ma copie merci à la calculette pour la résolution du système q 2 et le calcul de l aire q8 exo 5 donc je ne ferais pas de correction détaillé

salut à tous g bien passer l épreuves de maths je trouve que le sujet 'était pas trop difficile mais long
je l'ai fini entièrement un quart avant la fin de l'épreuve. François3 pour cette exos g les mm résultat mais g fait des schéma pour expliquer comment j'obtenais a1 et a2 et surtout la relation liant an+1 et an.
qu'as tu trouvé dans les autres exos?

salut grecos pour les autre exos ta trouvais quoi?
T'as fait le sujet au complet?

Allez, la suite

Exercice 2 :

Q1 :

a) Vect(AB) : (1;-1;4) et Vect(AC) : (2;1;2) ne sont pas colinéaires (vérification immédiate) donc A, B et C ne sont pas alignés.

On calcule AB, AC et BC. On obtient AC = 3; BC=3; AB = sqrt(18)

Le triangle ABC est doinc isocèle en C. De plus on a AC² + BC² = AB² = 18 donc ABC est rectangle en C.

b) On calcule vect(n) scalaire vect(AB) et vect(n) scalaire vect(AC). On trouve 0 dans les 2 cas, donc le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc c'est un vecteur normal au plan ABC.

c) Une équation du plan ABC est donc de la forme 2x - 2y -z + d = 0. Avec les coordonnées de A on trouve d = -8

Q2 :

a) Un vecteur normal au plan (P) est m (3;-3;-2) qui n'est pas colinéaire à n donc (ABC) et (P) ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants et leur intersection est une droite.

On résout le système 2x -2y-z-8 = 0 et 3x - 3y - 2z - 5 = 0

On trouve le système d'équation cartésiennes de la droite : y = x - 11 et z = 14

On pourrait aussi donner le résultat sous forme paramétrique mais ce n'était pas demandé, et - à priori - hors programme. : x = 11 + t; y = t; z = 14

b) On résout le système

z = 14; y = x - 11; -x + 7y - z + 13 = 0

On trouve M(13;2;14) comme seul point d'intersection


Exercice 3 :

Q1 :

P(T1) = 0,7
P(C) = 0,7 + 0,3 * 0,65 = 0,895

Q2 :

a) X prend les valeurs a - 1000; a - 1050; -1050

P(X=a-1000) = 0,7
P(X=a-1050) = 0,3 * 0,65 = 0,195
P(X=-1050) = 0,3 * 0.35 = 0,105

b) E(X) = 0,895a - 1015

c) E(X) > 0 <=> a > 1015/0,895 <=> a > 1134,08€ (environ)

Exercice N°4 :

Q1)

a) limite en 0+ = + infini (immédiat)

b) limite en + infini = 0 (immédiat)

c) asymptote horizontale d'équation y = 0 et verticale d'équation x = 0

Q2)

a) On pose u(x) = 1/x² et v(x) = exp(1/x)

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

On développe, on trouve le résultat demandé

b) exp(1/x) > 0 sur R+*, idem pour 2x + 1

-1/(x^4) < 0 sur R+* donc f'(x) < 0 sur R+*

Donc f strictement décroissante sur R+*

c) f(1) > 2 et f(2) < 2 et f est strictement décroissante sur R+* donc d'après le théorème de la bijection il existe une unique solution à l'équation f(x) = 2 sur R+*

Avec la calculatrice, on trouve une valeur approchée de 1,11

Q3) : Courbe

Exercice 5 :

Q1) : Df = R privé de 1 et 2 qui sont les racines de x² - 3x + 2

Q2) : On met au même dénominateur l'expression donnée et par identification, on trouve a = 2 et b = 3

Q3) : On trouve lim en - infini = 1
lim en 1- = - infini
lim en 1+ = + infini
lim en 2- = - infini
lim en 2+ = + infini
lim en + infini = 1

Q4) : Asymptotes verticales d'équations x = 1 et x = 2, Asymptote horizontale d'équation y = 1

Q5) : f est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions polynomes.

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)²

On trouve f'(x) = (-5x² + 14x - 11) / v(x)²

Q6) : Le signe est celui de -5x² + 14x - 11. Discriminant = -24 < 0 donc tout le temps négatif.

Donc f est strictement décroissante sur Df

Q7) : Courbe

Q8) : une primitive de f est x + a*ln(|x-1|) + b*ln(|x-2|)

Entre 3 et 4 on trouve 1 + 2ln(3) + ln(2) ~ 3,89. Donc l'aire est d'environ 3,89*4 ~ 15,56 cm² (1 UA = 4 cm² au vu de l'unité choisie)

Voilà pour le corrigé, possible qu'il y ait des erreurs, j'ai recopié çà rapidement à partir de ce que j'avais comme brouillon.