reivilo écrit : voilà comme prévu l'exo 2 de surv 2015.
j'ai 3 questions :
pour l'intégrale f (x)= ln x - x + 5 pour x ∈ [1 ; 5]
1/on nous fait trouver x ln x – x dans la qst 4 pour l'intégrale de ln (x) mais si on ne nous avait pas donné ça, on aurait pris 1/x comme integrale de ln(x)
pourquoi on nous fait passer par cette étape ?
2/ qu'est ce que ça change l'intervale [1 ; 5]
3/ à la fin, je ne comprends plus, il doit y avoir une erreur dans ce que j'ai fait car je trouve un nombre exact... donc pas d'arrondi au millième à faire...
Je viens de regarder ton exercice et je constate que ton raisonnement est assez brouillon.
Dans la question 1, ton inégalité -8x <= 8 ne justifie en rien le signe de f'(x) !!
Tu as étudier le signe de f'(x), donc tout d'abord trouver la valeur de x pour laquelle f'(x) s'annule (ici en x=1), puis en déduire le signe. Ici, c'est simple, il suffit de regarder le coefficient directeur de f'. On a a = -8 < 0, ainsi f'(x) est bien positif sur [0;1]. D'où la croissance de f sur ce même intervalle.
Tu pouvais aussi tout simplement dire que la fonction est un polynôme du 2nd degré avec a=-4 ; b=8 et c=0. Donc, elle admet un maximum en x = -b/2a = 1. Ce qui permettait de conclure.
Pour la 2nde fonction, attention lorsque tu écris 1/x < 1 pour x > 1, tu dois le justifier !! Cela vrai car la fonction 1/x est décroissante !! Donc l'inégalité change.
Tu avais plus simple, en réduisant au même dénominateur f'(x) : on a donc f'(x) = (1-x) / x .
Sur [1;5], le dénominateur est bien strictement positif, et l'étude du signe du numérateur 1-x n'est pas compliquée.
Question 2 : OK.
Question 3 Avant de calculer l'intégrale, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Ici elle l'est en effet car on a :
0 ≤ x ≤ 1
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est croissante on l'a démontré)
0 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et
positive ! La positivité de f est importante car elle permet de bien écrire ton intégrale.
Sinon ton calcul ici est correct, on trouve bien 8/3.
Question 4 :
Je réponds tout d'abord à ta 1ère question :
Ici le but c'est de chercher une primitive F de la fonction f définie par f(x) = ln x - x + 5.
Une primitive -x+5 facile ! Je n'y reviens pas là-dessus...
Ici la difficulté est de trouver une primitive de ln x.
Une grossière erreur est de dire que 1/x est une primitive de ln x !! C'est faux !! ln x a pour dérivée 1/x mais pas l'inverse !!
Justement, dans la question, on admet qu'une primitive de ln x est donnée par : x ln x - x !!
Et le but est de démontrer que c'en est bien une. Facile : il suffit de dériver cette primitive (qui est admise je te rappelle) pour retomber à la fonction ln x. C'est bien ce que tu as fait !
(Pour info, pour démontrer que ln x a pour primitive x ln x - x, on le fait à l'aide
d'une intégration par parties, mais cela n'est plus au programme de Terminale S)
Question 5 :
Idem, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Or ici :
1 ≤ x ≤ 5
f(5) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est décroissante ici attention !)
ln 5 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et
positive aussi !
En regardant ton calcul, tu n'avais pas besoin de mettre x en facteur... tu aurais pu le laisser tel quel : x ln x - 1/2 x² + 4x.
Sinon, ton calcul de F(5) comporte une erreur : c'est -5²/2 et non pas -5/2 !! Il te manque un carré... de plus, c'est +20 et non +4 ! (+4x...)
Donc, ton calcul d'intégrale est à revoir...
Après calcul, tu devrais trouver 5 ln 5 + 4 U.A.
Question 6 :
De ce fait, vu que ta 2e intégrale est fausse, ton résultat est bien sûr faux !!
Tu devrais trouver après calcul : 5 ln 5 + (20/3) = 14,7139 env. soit encore 14 714 appels reçus pendant ces 5 minutes (arrondi à l'unité)
Question 7 :
Tu as d'abord donner la valeur exacte ici pas arrondi je te rappelle...
Donc en utilisant la question précédente, on a :
m = 1/5 (5 ln 5 + 20/3) = ln 5 + 4/3 = 2.943 messages/min (arrondi au millième) => c'est donc le débit moyen.
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