proposition de correction des annales d'épreuves écrites de mathématique

reivilo écrit : voilà comme prévu l'exo 2 de surv 2015.

j'ai 3 questions :
pour l'intégrale f (x)= ln x - x + 5 pour x ∈ [1 ; 5]

1/on nous fait trouver x ln x – x dans la qst 4 pour l'intégrale de ln (x) mais si on ne nous avait pas donné ça, on aurait pris 1/x comme integrale de ln(x)
pourquoi on nous fait passer par cette étape ?

2/ qu'est ce que ça change l'intervale [1 ; 5]

3/ à la fin, je ne comprends plus, il doit y avoir une erreur dans ce que j'ai fait car je trouve un nombre exact... donc pas d'arrondi au millième à faire...

Je viens de regarder ton exercice et je constate que ton raisonnement est assez brouillon.
Dans la question 1, ton inégalité -8x <= 8 ne justifie en rien le signe de f'(x) !!
Tu as étudier le signe de f'(x), donc tout d'abord trouver la valeur de x pour laquelle f'(x) s'annule (ici en x=1), puis en déduire le signe. Ici, c'est simple, il suffit de regarder le coefficient directeur de f'. On a a = -8 < 0, ainsi f'(x) est bien positif sur [0;1]. D'où la croissance de f sur ce même intervalle.
Tu pouvais aussi tout simplement dire que la fonction est un polynôme du 2nd degré avec a=-4 ; b=8 et c=0. Donc, elle admet un maximum en x = -b/2a = 1. Ce qui permettait de conclure.

Pour la 2nde fonction, attention lorsque tu écris 1/x < 1 pour x > 1, tu dois le justifier !! Cela vrai car la fonction 1/x est décroissante !! Donc l'inégalité change.
Tu avais plus simple, en réduisant au même dénominateur f'(x) : on a donc f'(x) = (1-x) / x .
Sur [1;5], le dénominateur est bien strictement positif, et l'étude du signe du numérateur 1-x n'est pas compliquée.

Question 2 : OK.
Question 3 Avant de calculer l'intégrale, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Ici elle l'est en effet car on a :
0 ≤ x ≤ 1
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est croissante on l'a démontré)
0 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et positive ! La positivité de f est importante car elle permet de bien écrire ton intégrale.
Sinon ton calcul ici est correct, on trouve bien 8/3.

Question 4 :
Je réponds tout d'abord à ta 1ère question :
Ici le but c'est de chercher une primitive F de la fonction f définie par f(x) = ln x - x + 5.
Une primitive -x+5 facile ! Je n'y reviens pas là-dessus...
Ici la difficulté est de trouver une primitive de ln x.
Une grossière erreur est de dire que 1/x est une primitive de ln x !! C'est faux !! ln x a pour dérivée 1/x mais pas l'inverse !!
Justement, dans la question, on admet qu'une primitive de ln x est donnée par : x ln x - x !!
Et le but est de démontrer que c'en est bien une. Facile : il suffit de dériver cette primitive (qui est admise je te rappelle) pour retomber à la fonction ln x. C'est bien ce que tu as fait !
(Pour info, pour démontrer que ln x a pour primitive x ln x - x, on le fait à l'aide d'une intégration par parties, mais cela n'est plus au programme de Terminale S)

Question 5 :
Idem, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Or ici :
1 ≤ x ≤ 5
f(5) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est décroissante ici attention !)
ln 5 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et positive aussi !

En regardant ton calcul, tu n'avais pas besoin de mettre x en facteur... tu aurais pu le laisser tel quel : x ln x - 1/2 x² + 4x.
Sinon, ton calcul de F(5) comporte une erreur : c'est -5²/2 et non pas -5/2 !! Il te manque un carré... de plus, c'est +20 et non +4 ! (+4x...)
Donc, ton calcul d'intégrale est à revoir...
Après calcul, tu devrais trouver 5 ln 5 + 4 U.A.

Question 6 :
De ce fait, vu que ta 2e intégrale est fausse, ton résultat est bien sûr faux !!
Tu devrais trouver après calcul : 5 ln 5 + (20/3) = 14,7139 env. soit encore 14 714 appels reçus pendant ces 5 minutes (arrondi à l'unité)

Question 7 :
Tu as d'abord donner la valeur exacte ici pas arrondi je te rappelle...
Donc en utilisant la question précédente, on a :
m = 1/5 (5 ln 5 + 20/3) = ln 5 + 4/3 = 2.943 messages/min (arrondi au millième) => c'est donc le débit moyen.

ok Dnaref, je revois ça, seras tu assez disponible encore d'ici mardi soir ? ( suis en martinique, il y a 6h de décallage) j'ai encore beaucoup à faire !...
peux tu proposer une correction pour la suite de surveillance 2015 stp ? ce serait top ! en te remerciant 1000 fois d'avance

Dnaref84 écrit:

reivilo écrit : voilà comme prévu l'exo 2 de surv 2015.

j'ai 3 questions :
pour l'intégrale f (x)= ln x - x + 5 pour x ∈ [1 ; 5]

1/on nous fait trouver x ln x – x dans la qst 4 pour l'intégrale de ln (x) mais si on ne nous avait pas donné ça, on aurait pris 1/x comme integrale de ln(x)
pourquoi on nous fait passer par cette étape ?

2/ qu'est ce que ça change l'intervale [1 ; 5]

3/ à la fin, je ne comprends plus, il doit y avoir une erreur dans ce que j'ai fait car je trouve un nombre exact... donc pas d'arrondi au millième à faire...

Je viens de regarder ton exercice et je constate que ton raisonnement est assez brouillon.
Dans la question 1, ton inégalité -8x <= 8 ne justifie en rien le signe de f'(x) !!
Tu as étudier le signe de f'(x), donc tout d'abord trouver la valeur de x pour laquelle f'(x) s'annule (ici en x=1), puis en déduire le signe. Ici, c'est simple, il suffit de regarder le coefficient directeur de f'. On a a = -8 < 0, ainsi f'(x) est bien positif sur [0;1]. D'où la croissance de f sur ce même intervalle.
Tu pouvais aussi tout simplement dire que la fonction est un polynôme du 2nd degré avec a=-4 ; b=8 et c=0. Donc, elle admet un maximum en x = -b/2a = 1. Ce qui permettait de conclure.

je ne comprends pas, le discriminant est égal à 64 non ? (positif)

Dnaref84 écrit: Pour la 2nde fonction, attention lorsque tu écris 1/x < 1 pour x > 1, tu dois le justifier !! Cela vrai car la fonction 1/x est décroissante !! Donc l'inégalité change.
Tu avais plus simple, en réduisant au même dénominateur f'(x) : on a donc f'(x) = (1-x) / x .
Sur [1;5], le dénominateur est bien strictement positif, et l'étude du signe du numérateur 1-x n'est pas compliquée.

Question 2 : OK.
Question 3 Avant de calculer l'intégrale, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Ici elle l'est en effet car on a :
0 ≤ x ≤ 1
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est croissante on l'a démontré)
0 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et positive ! La positivité de f est importante car elle permet de bien écrire ton intégrale.
Sinon ton calcul ici est correct, on trouve bien 8/3.

Question 4 :
Je réponds tout d'abord à ta 1ère question :
Ici le but c'est de chercher une primitive F de la fonction f définie par f(x) = ln x - x + 5.
Une primitive -x+5 facile ! Je n'y reviens pas là-dessus...
Ici la difficulté est de trouver une primitive de ln x.
Une grossière erreur est de dire que 1/x est une primitive de ln x !! C'est faux !! ln x a pour dérivée 1/x mais pas l'inverse !!
Justement, dans la question, on admet qu'une primitive de ln x est donnée par : x ln x - x !!
Et le but est de démontrer que c'en est bien une. Facile : il suffit de dériver cette primitive (qui est admise je te rappelle) pour retomber à la fonction ln x. C'est bien ce que tu as fait !
(Pour info, pour démontrer que ln x a pour primitive x ln x - x, on le fait à l'aide d'une intégration par parties, mais cela n'est plus au programme de Terminale S)

Question 5 :
Idem, tu dois d'abord t'assurer qu'elle est déjà bien définie !!
Or ici :
1 ≤ x ≤ 5
f(5) ≤ f(x) ≤ f(1) (car f est décroissante ici attention !)
ln 5 ≤ f(x) ≤ 4
Ainsi f est bien continue et positive aussi !

En regardant ton calcul, tu n'avais pas besoin de mettre x en facteur... tu aurais pu le laisser tel quel : x ln x - 1/2 x² + 4x.
Sinon, ton calcul de F(5) comporte une erreur : c'est -5²/2 et non pas -5/2 !! Il te manque un carré... de plus, c'est +20 et non +4 ! (+4x...)
Donc, ton calcul d'intégrale est à revoir...
Après calcul, tu devrais trouver 5 ln 5 + 4 U.A.

Question 6 :
De ce fait, vu que ta 2e intégrale est fausse, ton résultat est bien sûr faux !!
Tu devrais trouver après calcul : 5 ln 5 + (20/3) = 14,7139 env. soit encore 14 714 appels reçus pendant ces 5 minutes (arrondi à l'unité)

Question 7 :
Tu as d'abord donner la valeur exacte ici pas arrondi je te rappelle...
Donc en utilisant la question précédente, on a :
m = 1/5 (5 ln 5 + 20/3) = ln 5 + 4/3 = 2.943 messages/min (arrondi au millième) => c'est donc le débit moyen.

Oui le discriminant est bien égal à 64.
Mais ici, nul besoin de le calculer, ce qu'on veut ce sont les variations de la fonction.
Ici a = -4 < 0 (le coefficient te permet déjà de dire que l'allure de la parabole est tournée vers le bas, d'où l'existence d'un maximum)
Et ce maximum est atteint pour x = -b/2a = 1 (d'après le cours)
Donc tu conclus facilement que pour x<1, f est croissante et que pour x>1 f est décroissante.
Or l'intervalle est [0;1], donc f est bien croissante sur cet intervalle.

reivilo écrit : peux tu proposer une correction pour la suite de surveillance 2015 stp ? ce serait top ! en te remerciant 1000 fois d'avance

Je vais voir ce que je peux faire.
Je pense que je vais le rédiger manuellement puis te le scanner par la suite (car la rédiger sous Word va être très long...)
Au moins, l'écriture "a la mano" est bien plus rapide. :lol:
J'essaierai de t'envoyer cela avant mardi.