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Proposition de correction QCM Agent douanes moto 2011 maths

Un grand MERCI à florian dont j'ai repris la quasi intégralité de la proposition de correction et Breizh pour les questions 5 et 6

Q.C.1 Le nombre (3e2)(9e3) est égal à
a) 3e8
b) 3e11
c) 3e12
d) 3e15

(3²)(9³)
= 3² × 9³
= 3 × 3 × 9 × 9 × 9
= 3 × 3 × 3² × 3² × 3²
= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3^8

Réponse : a) 3^8 (3 puissance 8).

Q.C.2 La fraction 7/2 divisée par 3/4 est égale à
a) 14/3
b) 21/8
c) 7/6
d) 7/24

Règle mathématique : diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.
Ainsi,
7/2 ÷ 3/4
= 7/2 × 4/3
Fusion en une seule fraction
= (7 × 4)/(2 × 3)
= 28/6
Simplification par 2 (les deux 2 s’annulent)
= (14 × 2)/(3 × 2)
= 14/3

Réponse : a) 14/3

Q.C.3 Quelle est la forme développée de l'expression (5x+1)(2x²-5) + 5(2x-x²) ?
a) 10xe3-3x²-15x-5
b) 10xe3+2x²+15
c) 12x²+10x+15
d) xe3+2x²+5x+5

(5x + 1)(2x² – 5) + 5(2x – x²)
Développement
= 5x × 2x² + 1 × 2x² + 5x × (– 5) + 1 × (– 5) + 5 × 2x + 5 × (– x²)
Calcul des produits
= 10x³ + 2x² + (– 25x) + (– 5) + 10x + (– 5x²)
Simplification des signes
= 10x³ + 2x² – 25x – 5 + 10x – 5x²
Mise en ordre suivant les puissances
= 10x³ + 2x² – 5x² + 10x – 25x – 5
Calcul
= 10x³ – 3x² – 15x – 5

Réponse : a) 10x³ – 3x² – 15x – 5.

Q.C.4 Quel est le nombre qui, étant augmenté de 24, devient cinq fois plus grand qu'il ne l'était auparavant
a) 1
b) 15
c) 6
d) 26

6 + 24 = 30
30 ÷ 5 = 6
30 est bien « cinq fois plus grand » que 6

Réponse : c) 6.

Q.C.5 Quel est le plus grand diviseur commun entre 1001 et 2310
a) 77
b) 39
c) 442
d) 156

2310 = 2*3*5*7*11
1001 = 7*11*13
Réponse : a) 77.

Q.C.6 Quel est le plus petit diviseur commun entre 1001 et 2310
a)
b)
c)
d)

Réponse : b) 7.

Q.C.7 Le couple (2,-2) est la solution du système
a) x+2y=-2 et 2x+4y=-4 et x+5y=-8
b) 5x+2y=6 et 3x-2y=6 et 4x+5y=15
c) x+y=3 et x-2y=-6 et 7x-3y=9
d) -2x+5y=2 et x+y=0 et x+3y=5

On sait que x = 2 et y = – 2
On peut donc essayer avec le a :

x + 2y = – 2
2 + 2 × (– 2) = – 2
2 + (– 4) = – 2
2 – 4 = – 2
– 2 = – 2 [égalité vraie]

2x + 4y = – 4
2 × 2 + 4 × (– 2) = – 4
4 + (– 8) = – 4
4 – 8 = – 4
– 4 = – 4 [égalité vraie]

x + 5y = – 8
2 + 5 × (– 2) = – 8
2 + (– 10) = – 8
2 – 10 = – 8
– 8 = – 8 [égalité vraie]

On peut donc s’arrêter là puisqu’il n’y a qu’une seule bonne réponse possible.

Pour information, voici ce que m’ont donné les calculs des trois autres systèmes avec le couple (2;– 2)
b) 6 = 6 ; 10 = 6 (!) ; – 2 = 15 (!)
c) 0 = 3 (!) ; 6 = 6 ; 20 = 9 (!)
d) – 14 = 2 (!) ; 0 = 0 ; – 4 = 5 (!)

Réponse : a).

Q.C.8 On sait que la largeur d'un rectangle est le quart de sa longueur et qu'elle mesure 30 cm de moins que sa longueur. Quelle est l’aire du rectangle
a) 2 dm²
b) 7,5 cm²
c) 4 dm²
d) 40 cm²

Soit x la longueur du rectangle et y la largeur.
Pour déterminer sa longueur, on sait que la largeur du rectangle est égale au quart de la longueur et qu’elle mesure 30 cm de moins que celle–ci.
y = 1/4x
y = x – 30
Donc, si y est égal aux deux, les deux expression sont aussi égales
1/4x = x – 30
Multiplication par 4 pour annuler la fraction
1/4x × 4 = (x – 30) × 4
Distribution du 4 dans l’expression de droite
1/4x × 4 = x × 4 – 30 × 4
Calcul des produits par 4
x = 4x – 120
Soustraction de 4x de chaque côté pour ne laisser le x que d’un côté (à droite)
x – 4x = 4x – 4x – 120
Calcul des soustractions
– 3x = – 120
Simplification (les moins s’annulent)
3x = 120
Division par trois de chaque côté pour arriver à un seul x à gauche
3x/3= 120/3
Calcul
x = 40 cm

Donc la longueur mesure 40 cm.

Comme vu plus haut :
y = 1/4x
y = x – 30

Donc :
y = 1/4 × 40 = 1/4 × 40/1 = (1 × 40)/(4 × 1) = 40/4 = 10 cm
y = 40 – 30 = 10 cm

Donc la largeur du rectangle est de 10 cm

L’aire A du rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur :
A = x × y
A = 40 × 10
A = 400 cm²

On sait qu’un décimètre carré est égal à 100 cm² (soit un carré d’un décimètre de côté).

Donc 400 cm² = 4 dm²

Réponse : c) 4 dm².

 

Q.C.9 La distance entre deux gares ferroviaires sur une carte à l'échelle 1/500 000 est de 2,4 cm. Quelle est la distance réelle entre ces deux gares ?
a) 12 km
b) 48 km
c) 120 km
d) 480 km

Une échelle de carte au 1/500 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 500 000 cm dans la réalité, soit 5 000 m ou 5 km.
Donc, par produit en croix avec x la valeur à chercher :
x = 2,4 × 500 000 ÷ 1
x = 2,4 × 500 000
x = 1 200 000 cm

On sait avec l’usage que 1 km = 1 000 m et que 1 m = 100 cm. On trouve donc que 1 km est égal à 100 000 cm.
1 200 000 ÷ 100 000 = 12 km

Réponse : a) 12 km.

Q.C.10 (-3)5 = ?
a) 81
b) -81
c) -243
d) 243

(– 3)^5 = (– 3) × (– 3) × (– 3) × (– 3) × (– 3)
Exemple de calcul simple et détaillé
= –(– 9) × –(– 9) × (– 3)
Simplification en supprimant les signes qui s’annulent
= 9 × 9 × (– 3)
= 81× (– 3)
= – 243
Réponse : c) – 243.

Q.C.11 Dans un triangle ABC rectangle en A tel que [AB] =4 et [AC]=3, combien mesure [BC]?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2V3

Si l’angle droit est en A, l’hypoténuse (le plus grand côté du triangle) en est opposé et est donc [BC]. Or, on sait que le carré de BC est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, [AB] et [AC] (selon le théorème de Pythagore).
On a ainsi :
BC² = AB² + AC²
BC² = 4² + 3²
BC² = 16 + 9
BC² = 25
BC = 5

Réponse : c) 5.

Q.C.12 Parmi ces nombres, un seul est un nombre premier. Lequel ?
a) 43
b) 44
c) 45
d) 46

43 n’est divisible que par 1 et par lui–même, il est donc premier.
44 peut être divisé par 11 (= 4) et par 4 (= 11) ainsi que par 22 (= 2) et par 2 (= 22), il n’est donc pas premier.
45 peut être divisé par 9 (= 5) et par 5 (= 9), il n’est donc pas premier.
46 peut être divisé par 23 (= 2) et par 2 (= 23), il n’est donc pas premier.

Réponse : a) 43.

Q.C.13 : Une personne a 360 000 E. Elle en place lies deux tiers à 4,5% et le reste à 3%. Quel est son revenu annuel
a) 14 400 euros
b) 12 800 euros
c) 14 800 euros
d) 27 000 euros

Calcul des deux tiers
360 000 × 2/3 = 360 000 × 2 ÷ 3 = 720 000 ÷ 3 = 240 000 €
Calcul du reste
360 000 – 240 000 = 120 000 €

240 000 × 4,5 % = 240 000 × 4,5/100 = 240 000 × 0,045 = 10 800 €
120 000 × 3 % = 120 000 × 3/100 = 120 000 × 0,03 = 3 600 €

10 800 + 3 600 = 14 400 €

Réponse : a) 14 400 euros.

Q.C.14 : La fraction de 9/5 peut être exprimée en pourcentage. Le résultat est
a) 9,5 %
b) 45 %
c) 95 %
d) 180 %

9/5 = 1,8
sachant que 100 % = 100/100 = 1
1,8 = 180/100 = 180 %

Réponse : d) 180 %.

Q.C.15 : Diviser un nombre par 0,25 équivaut à
a) le multiplier par 2,5
b) le multiplier par 5
c) le multiplier par 4
d) le diviser par 2 et le multiplier par 10

Règle mathématique : diviser par 1/4 revient à multiplier par son inverse, soit 4/1, c’est-à-dire simplement 4.

Réponse : c) 4.

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