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FICHE 2 NOMBRES PREMIERS...(PPMC,PGDG...)

1 - DEFINITION

Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Ceci constitue la défintion même (et unique) des nombres premiers.

Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Par opposition, les autres sont dits "composés" (sous-entendu composés par un produit d'au moins de deux nombres premiers).

Un nombre composé est donc factorisable en un produit de puissances de facteurs de nombres premiers de façon unique, à l'ordre près.

Par exemple 21 = 3×7 ou 7×3, mais 7 est premier car la seule factorisation possible est 1×7 = 7.

2- Decomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers

Exemple : 132

On divise 132 par ses diviseurs premiers successifs

132/2=66

66/2=33

33/3=11

132=2x2x3x11

3 - Le PPCM - plus petit commun multiple (abrégé PPCM) ou PPMC Plus Petit Multiple Commun

Le PPCM de deux entiers, est le plus petit entier naturel qui est multiple simultanément des deux entiers (si un des deux entiers est nul, le PPCM est égal à 0).

On décompose chaque nombre en produit de nombres premiers.

Exemple: prenons les nombres 60 et 168 et décomposons-les en produits de facteurs premiers.

60=2×2×3×5 1

68=2×2×2×3×7

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3.

Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1.

On a alors ppcm(60, 168)=2³×3×5×7=840

4 - Plus Grand Diviseur Commun (PGDC)

Exemple : 24 et 30

Diviseurs de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12

Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Parmi tous les diviseurs de 24 et 30, il y en a un qui est le plus grand 6.

On l'appelle Plus Grand Diviseur Commun PGDC de 24 et 30.

Règle : Pour trouver le PGDC de deux entiers naturels, on les décompose en facteurs premiers, on forme le produit de tous les facteurs premiers communs contenus dans les decompositions en les affectant de leur plus petit exposant.

24 = 2x2x2x3

30 = 2 x 3 x 5

(PGDC 24 et 30) = 2 x 3 = 6

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